Stefan Lainer ble matchvinner da han etter en snau halvtime scoret på keeperretur etter en avslutning fra Takumi Minamino.
Berisha, Minamino og Jonatan Soriano hadde mange gode kombinasjoner som førte til sjanser for gjestene, og laget burde scoret flere mål.
Berisha scoret da Salzburg vant
Hjemmelaget kom også til muligheter, og Christian Klem traff tverrliggeren i første omgang. Mot slutten presset Sturm Graz, og Berisha ble byttet ut seks minutter før slutt da Salzburg prioriterte å tette igjen bakover.
– Jeg synes vi fortjente seieren, men det ble tøft i sluttminuttene, og det kostet oss mye krefter å sikre seieren, sa Lainer til klubbens nettsted.
Semifinalene trekkes søndag. Øvrige semifinalister er Admira Mödling (slo ut Rapid Wien onsdag), Austria Wien og St. Pölten.
(©NTB)
Berisha og Salzburg tok sin fjerde strake seier