Den tyske verdensmesteren Lukas Podolski ble matchvinner med sin scoring etter en halv time, og serietoeren greide aldri å utligne.
Podolski herjet innledningsvis og kom til en rekke gode sjanser. Etter seks minutter skjøt han svakt over fra kort hold, før han tvang Fenerbahçe-keeper Fabiano Ribeiro til noen gode redninger.
Scoringen kom på et hjørnespark fra høyre. Jason Denayer nikket ballen mot mål, og inne i målgården hadde Podolski løpt seg fri fra sin oppasser og stusset ballen i hjørnet.
Fenerbahçe, som blant andre stilte med den tidligere Manchester United-duoen Nani og Robin van Persie, spilte seg inn i kampen etter pause og presset på for utligning, men Galatasaray holdt unna og ble cupmester for tredje år på rad.
Linnes kom inn for Emre Colak i det 89. minutt og spilte drøyt fem minutter inkludert overtid.
Som vanlig når Galatasaray og Fenerbahçe møtes var det hett både på banen og tribunene.
Med seieren avsluttet Galatasaray en ellers skuffende sesong med en opptur. Storklubben ble bare nummer seks i serien, som ble vunnet av en tredje Istanbul-storklubb: Besiktas.
Normalt ville torsdagens cupseier bety at Galatasaray skulle vært klar for europaligaens gruppespill, men klubben ble i mars straffet med to års utelukkelse fra europacupene for brudd på UEFAs regler om økonomisk fair play
(©NTB)