Det bekrefter den walisiske klubben mandag.
Bradley var Stabæk-trener i to sesonger fra 2014 til 2015, og tok Stabæk til en imponerende tredjeplass i fjorårets eliteserie.
Siden har amerikaneren vært trener i franske Le Havre, og nå får han sjansen i Premier League. Han har tidligere vært landslagstrener for USA og Egypt.
Dermed er det slutt for Francesco Guidolin etter helgas kamp mot Liverpool, som endte med 2-1-tap. Swansea ligger på 17.-plass i Premier League etter sju serierunder. Laget har tatt fire poeng så langt i årets sesong.
– Vi er selvfølgelig skuffet over å måtte skille lag med Francesco. Vi følte at han fortjente sjansen etter det arbeidet han la ned forrige sesong, men dessverre klarte vi ikke å fortsette på samme måte, og dermed så vi oss nødt til å gjøre endringer så raskt som mulig for å fortsette på en positiv måte, sier styreformann Huw Jenkins til klubbens nettsider.
– Vi er glade for at Bob har bestemt seg for å komme til oss. Han er høyt ansett som trener, og har mye erfaring både på nasjonalt og internasjonalt nivå, sier styreformann Jenkins.
Bradley blir den første amerikaneren som trener et lag i en av de fire store ligaene.