21 år gamle Eitrem klokket inn på tiden 6:09.28 og ble nummer tre bak italienske Davide Ghiotto og forhåndsfavoritt på hjemmebane, Patrick Roest.
Nederlenderen har vunnet samtlige løp på samme distanse så langt denne sesongen.
EM på skøyter ser du på VG+ Sport
Eitrem gikk ut i femte par med nederlandske Marcel Bosker. Den norske 21-åringen satte standarden og fullførte over ni sekunder foran nederlenderen.
Eitrem har to tredjeplasser på 5000 meter tidligere denne sesongen.
– Det her er enorm oppvisning av Sander Eitrem enn så lenge, kommenterte Hege Bøkko på VGTV underveis i løpet.
– Det er blant de beste løpene han har gått noensinne, la Ida Njåtun til.
Eitrem var for alvor med i medaljekampen før de siste tre parene skulle i aksjon i Heerenveen.
Nordmannen måtte se seg slått av både Ghiotto og forhåndsfavoritt Roest i neste par. Sistnevnte var 2,34 sekunder foran Ghiotto og 3,35 sekunder foran Eitrem i mål.
Fredag var Eitrem med på å sette verdensrekord i lagtempo sammen med Peder Kongshaug og Sverre Lunde Pedersen. Sistnevnte gikk ut i siste par på 5000-meteren lørdag.
Lunde Pedersen ble nummer seks ti sekunder bak Roest på topp.
Kristian Gamme Ulekleiv gikk i første par med med polske Szymon Palka og ble nummer ni.
Hallgeir Engebråten var også påmeldt til øvelsen, men måtte stå over med sykdom.
Ragne Wiklund skulle også gå senere lørdag i kvinnenes 1500 meter, men også hun er syk.