Tirsdagens kamp var en omkamp etter at den første thrilleren mellom lagene endte uavgjort.
En lekker gjennombruddspasning og en like nydelig avslutningen gjorde at nordmannen kunne juble på overtid.
Anel Ahmedhodzic sendte vertene i føringen, men gjestene fra nivå fem skapte trøbbel for hjemmelaget. Paul Mullin utlignet på straffe for laget fra femte nivå i England. Mullin fikk også en ny mulighet til å score fra krittmerket, men denne gangen bommet han.
Wrexhams Hollywood-eiere Ryan Reynolds og Rob McElhenney tvitret begge at de var stolte av laget sitt og de 4000 tilreisende supporterne fra Nord-Wales.
– Det var en stor cupduell over to kamper. De spilte veldig bra, men jeg likte ikke holdningen til noen av spillerne deres. De snakket om Spurs som motstander før de møtte oss, sa Sharp til ITV.
– Jeg er glad for at vi slo dem.
På overtid utnyttet først Billy Sharp en grusom forsvarstabbe i det 94. minutt, før Berge punkterte kampen to minutter senere.
Det var Berges femte mål denne sesongen. De fire andre har kommet i Championship, hvor Sheffield United sammen med Burnley stormer videre mot Premier League.
Slik gikk den første thrillerkampen: